初一数学重难点梳理

　　一、代数初步知识

　　1.代数式:用运算符号“+-×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)

　　2.列代数式的几个注意事项:

　　(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“.”乘，或省略不写;

　　(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“.”乘，也不能省略乘号;

　　(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;

　　(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a;

　　(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式;

　　(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

　　3.几个重要的代数式:(m、n表示整数)

　　(1)a与b的平方差是:a2-b2;a与b差的平方是:(a-b)2;

　　(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是:10a+b,则三位整数是:100a+10b+c;

　　(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是:5m+n;偶数是:2n，奇数是:2n+1;三个连续整数是:n-1、n、n+1;

　　(4)若b>0，则正数是:a2+b，负数是:-a2-b，非负数是:a2，非正数是:-a2.

 

　　二、有理数

　　1.有理数:

　　(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;不是有理数;

　　(2)有理数的分类:①②

　　(3)注意:有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;

　　(4)自然数,0和正整数;a>0,a是正数;a<0,a是负数;

　　a≥0,a是正数或0,a是非负数;a≤0,a是负数或0?a是非正数.

　　2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

　　3.相反数:

　　(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;

　　(2)注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;

　　(3)相反数的和为0,a+b=0,a、b互为相反数.

　　4.少有值:

　　(1)正数的少有值是其本身，0的少有值是0，负数的少有值是它的相反数;注意:少有值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

　　(2)少有值可表示为:或;少有值的问题经常分类讨论;

　　(3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意:|a|x|b|=|axb|,.

　　5.有理数比大小:(1)正数的少有值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，少有值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.

　　6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若a≠0，那么的倒数是;倒数是本身的数是±1;若ab=1,a、b互为倒数;若ab=-1,a、b互为负倒数.

　　7.有理数加法法则:

　　(1)同号两数相加，取相同的符号，并把少有值相加;

　　(2)异号两数相加，取少有值较大的符号，并用较大的少有值减去较小的少有值;

　　(3)一个数与0相加，仍得这个数.

　　8.有理数加法的运算律:

　　(1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

　　9.有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).

　　10有理数乘法法则:

　　(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把少有值相乘;

　　(2)任何数同零相乘都得零;

　　(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

　　11有理数乘法的运算律:

　　(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);

　　(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.

　　12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数，

　　13.有理数乘方的法则:

　　(1)正数的任何次幂都是正数;

　　(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

　　14.乘方的定义:

　　(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;

　　(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;

　　(3)a2是重要的非负数，即a2≥0;若a2+|b|=0?a=0,b=0;

　　(4)据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

　　15.科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

　　16.近似数的准确位:一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的准确到那一位.

　　17.有效数字:从左边先进个不为零的数字起，到准确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

　　18.混合运算法则:先乘方，后乘除，较后加减;注意:怎样算简单，怎样算准确，是数学的较重要的原则.

　　19.特殊值法:是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

 

　　三、整式的加减

　　1.单项式:在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

　　2.单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

　　3.多项式:几个单项式的和叫多项式.

　　4.多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数较高项的次数叫多项式的次数;注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.

　　5.整式:凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.

 

　　四、整式分类为

　　6.同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.

　　7.合并同类项法则:系数相加，字母与字母的指数不变.

　　8.去(添)括号法则:去(添)括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

　　9.整式的加减:整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.

　　10.多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式的较后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.

 

　　五、一元一次方程

　　1.等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”!

　　2.等式的性质:

　　等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式;

　　等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

　　3.方程:含未知数的等式，叫方程.

　　4.方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”!

　　5.移项:改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.

　　6.一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

　　7.一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).

　　8.一元一次方程的较简形式:ax=b(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).

　　9.一元一次方程解法的一般步骤:整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解).

　　10.列一元一次方程解应用题:

　　(1)读题分析法:…………多用于“和，差，倍，分问题”

　　仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如:“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，较后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

　　(2)画图分析法:…………多用于“行程问题”

　　利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，较后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.

　　11.列方程解应用题的常用公式:

　　(1)行程问题:距离=速度x时间;

　　(2)工程问题:工作量=工效x工时;

　　(3)比率问题:部分=全体x比率;

　　(4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度;

　　(5)商品价格问题:价格=定价x折，利润=价格-成本，;

　　(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，

　　S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=πR2h.

　　

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