初中数学一元一次方程9大题型解析

　　一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

　　(1)审题：弄清题意

　　(2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系

　　(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程

　　(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值

　　(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案

 

　　二、一元一次方程解决应用题的分类

　　1.市场经济、打折问题

　　(一)知识点

　　(1)商品利润=商品价格-商品成本价

　　(2)商品利润率=商品利润/商品成品价 ×100%

　　(3)商品额=商品价×商品量

　　(4)商品的利润=(价-成本价)×量

　　(5)商品打几折卖完，就是按原价的百分之几十卖完，如商品打8折卖完，即按原价的80%卖完.

　　(二)例题解析

　　例1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过诊断：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名孩子就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名孩子就餐。

　　(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名孩子就餐。

　　(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名孩子就餐?请说明理由。

　　解：(1)设1个小餐厅可供y名孩子就餐，则1个大餐厅可供(1680-2y)名孩子就餐，根据题意得：

　　2(1680-2y)+y=2280

　　解得：y=360(名)

　　所以1680-2y=960(名)

　　(2)因为960×5+360×2=5520>5300 ，

　　所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名孩子就餐。

 

　　例2.工艺商场按标价某种工艺品时，每件可获利45元;按标价的八五折该工艺品8件与将标价降低35元该工艺品12件所获利润相等。该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?

　　解：设该工艺品每件的进价是 元,标价是(45+x)元。依题意，得：

　　8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x

　　解得：x=155(元)

　　所以45+x=200(元)

 

　　例3.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费。

　　(1)某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

　　(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦?应交电费是多少元?

　　解：(1)由题意，得 0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72

　　解得a=60

　　(2)设九月份共用电x千瓦时， 0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x

　　解得x=90

　　所以0.36×90=32.40(元)

　　答：90千瓦时，交32.40元。

 

　　2.方案选择问题

　　(一)例题解析

　　例1.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经精加工后，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

　　方案一：将蔬菜全部进行粗加工.

　　方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接.

　　方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.

　　你认为哪种方案获利较多?为什么?

　　解：方案一：获利140×4500=630000(元)

　　方案二：获利15×6×7500+(140-15×6)×1000=725000(元)

　　方案三：设精加工x吨，则粗加工(140-x)吨

　　依题意得 =15 解得x=60

　　获利60×7500+(140-60)×4500=810000(元)

　　因为第三种获利较多，所以应选择方案三。

 

　　例2.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

　　(1)某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

　　(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时?应交电费是多少元?

　　解：(1)由题意，得0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72

　　解得a=60

　　(2)设九月份共用电x千瓦时，则 0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x 解得x=90

　　所以0.36×90=32.40(元)

　　答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元.

 

　　3.储蓄、储蓄利息问题

　　(一)知识点

　　(1)顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

　　(2)利息=本金×利率×期数

　　本息和=本金+利息

　　利息税=利息×税率(20%)

　　(3)利润=每个期数内的利息/本金×100%

　　(二)例题解析

　　例1.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少(准确到0.01%).

　　解：设这种债券的年利率是x，根据题意有

　　4500+4500×2×X×(1-20%)=4700，解得x=0.03

　　答：这种债券的年利率为3%

 

　　例2.白云商场购进某种商品的进价是每件8元，价是每件10元(价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润).现为了扩大量，把每件的价降低x%卖完，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于( )

　　A.1 B.1.8 C.2 D.10

　　点拨：根据题意列方程，得(10-8)×90%=10(1-x%)-8，解得x=2，故选C

 

　　4.工程问题

　　(一)知识点

　　1.工程问题中的三个量及其关系为：

　　工作总量=工作效率×工作时间

　　2.经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1.

　　(二)例题解析

　　例1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成?

　　解：设还需要X天完成，依题意，

　　得(1/10+1/15)×4+1/15X=1

　　解得X=5

　　例2.某工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需用12小时完成，若甲先干1小时、乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，问：再用几小时可全部完成任务?

　　解：设甲、乙两个龙头齐开x小时。由已知得，甲每小时灌池子的1/2，乙每小时灌池子的1/3 。

　　列方程：1/2×0.5+( 1/2+1/3 )x=2/3,

　　1/4+5/6x=2/3, 5/6x= 5/12

　　x= =0.5

　　x+0.5=1(小时)

　　例3.某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件?

　　解：(X/26+5)×24-60=X，X=780

 

　　5.行程问题

　　(一)知识点

　　1.行程问题中的三个基本量及其关系：

　　路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

　　2.行程问题基本类型

　　(1)相遇问题： 快行距+慢行距=原距

　　(2)追及问题： 快行距-慢行距=原距

　　(3)航行问题： 顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度

　　逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

　　抓住两码头间距离不变，水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系

　　(二)例题解析

　　例1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为_____ 。

　　解：等量关系 步行时间-乘公交车的时间=3.6小时

　　列出方程是：X/8-X/40=3.6

 

　　例2.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟;若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?

　　解：等量关系

　　⑴ 速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程

　　⑵ 速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间-15分钟

　　提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。

　　方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15(x-0.25)=9(x+0.25)

　　方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：

　　X/15+15/60=X/9-15/60

 

　　例3.一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米?

　　提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

　　等量关系：快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和

　　设客车的速度为3X米/秒，货车的速度为2X米/秒，

　　则 16×3X+16×2X=200+280

 

　　6.环行跑道与时钟问题

　　(一)例题解析

　　例1.在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合?

　　解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°

　　以下按追击问题可列出方程，不难求解。

　　解：设经过x分钟二针重合，

　　则6x=180+0.5x

　　解得 X=360/11

 

　　例2.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇?若背向跑，几分钟后相遇?

　　提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。

　　解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则

　　240X-200X=400

　　X=10

　　② 设背向跑，X分钟后相遇，则

　　240x+200X=400

　　X= 1/11

 

　　7.若干应用问题等量关系的规律

　　(一)知识点

　　(1)和、差、倍、分问题

　　此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。

　　增长量=原有量×增长率

　　现在量=原有量+增长量

　　(2)等积变形问题

　　常见几何图形的面积、体积、周长公式，依据形虽变，但体积不变。

　　①柱体的体积公式

　　V=底面积×高=S·h= r2h(2为平方)

　　②长方体的体积

　　V=长×宽×高=abc

　　(二)例题解析

　　例1.某粮库装粮食，先进个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从先进个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是先进个中的 。问每个仓库各有多少粮食?

　　设第二个仓库存粮X吨，则先进个仓库存粮3X吨，根据题意得

　　5/7×(3X-20)=X+20

　　X=30 3X=90

　　例2.一个装满水的内部长、宽、优异别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(准确到0.1毫米， π≈3.14)

　　设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得

　　π·(200/2)2x=300×300×80(X前的2为平方)

　　X≈229.3

　　答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米

　　例3.长方体甲的长、宽、优异别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高?

　　设乙的高为 Xmm，根据题意得

　　260×150×325=2.5×130×130×X

　　X=300

 

　　8.数字问题

　　(一)知识点

　　(1)要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c(其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9)则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

　　(2)数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1;偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。

　　(二)例题解析

　　例1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数。

　　解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X+7，个位上的数是3x

　　x+x+7+3x=17 解得x=2

　　x+7=9，3x=6 答：这个三位数是926

 

　　例2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数。

　　等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

　　解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，

　　10×2X+X=(10X+2X)+36

　　解得X=4，2X=8，

　　答：原来的两位数是48。

 

　　9.日历问题

　　(一)知识点

　　日历中的规律：横行相邻两数相差1，竖行相邻两数相差7。

　　(二)例题解析

　　例.下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，

　　(1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天?

　　(2)框出的4个数的和可能是26吗?为什么?

　　(1)设先进个数是x，

　　则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7，

　　则：x+x+1+x+6+x+7=74，

　　解得：x=15;

　　所以它分别是：15，16，21，22;

　　(2)设先进个数为x，则4x+14=26，4x=12，x=3，

　　本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，

　　得出结论：无法构成平行四边形。

 

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