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初中数学三角形知识专项整理

2020-01-09 11:26:50  来源:网络整理

  三角形的定义

  由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

  三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

 

  三角形的表示

  三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

  注意:

  (1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;

  (2)三角形是一个封闭的图形;

  (3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义。

 

  三角形的分类

  (1)按边分类:

  (2)按角分类

 

  三角形的主要线段的定义

  在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

  三角形中线性质定理:

  1、三角形的三条中线都在三角形内。

  2、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。

  3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。角的平分线是射线。(这是三角形的角平分线与角平分线的区别)

  角平分线线定理:

  定理1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理:在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

  定理2:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,如:在△ABC中,BD平分∠ABC,则AD:DC=AB:BC

  注:定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等!(即内心)。

  (3)三角形的高

  从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.

  表示法:①AD是△ABC的BC上的高线

  ②AD⊥BC于D

  ③∠ADB=∠ADC=90°.

  注意:①三角形的高是线段;

  ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;(三角形三条高所在直线交于一点.这点叫垂心)

  ③由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)

 

  三角形的主要线段的表示法

  三角形的角平分线的表示法:

  如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:

  ① AD是△ABC的角平分线;

  ② AD平分△BAC,交BC于D;

  ③如果AD是△ABC的角平分线,那么∠BAD=∠DAC=1|2∠BAC

(图1)

  (2)三角形的中线表示法:

  如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:

  ①AE是△ABC的中线;

  ②AE是△ABC中BC边上的中线;

  ③如果AE是△ABC的角平分线,那么BE=EC=1|2BC

  (3)三角线的高的表示法:

  如图2,根据具体情况,使用以下任意一种方式表示:

  ①AM是△ABC的高;

  ②AM是△ABC中BC边上的高;

  ③如果AM是△ABC中BC边上高,那么AM^BC,垂足是E;

  在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意:

  (1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部.

  (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.

图3 图4

  如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

图5 图6 图7

 

  三角形的三边关系

  三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

  注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段是短;

  (2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

 

  三角形的角与角之间的关系

  (1)三角形三个内角的和等于180°;

  (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

  (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

  (4)直角三角形的两个锐角互余.

 

  三角形的内角和定理

  定理:三角形的内角和等于180°.

  推论:直角三角形的两个锐角互余。

  推理过程:

  (1)作CM∥AB,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180度,

  即∠A+∠B+∠ACB=180度.

  (2)作MN∥BC,则∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=180度

  即∠BAC+∠B+∠C=180度.

  注意:

  (1)证明的思路很多,基本思想是组成平角.

  (2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角.

 

  三角形的外角的定义

  三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.

  注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.(所以一般我们只研究一个)

  如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.

  所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处

  只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.

 

  三角形外角的性质

  (1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.

  (2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.

  注意:(1)它不相邻的内角不容忽视;

  (1)作CM∥AB由于B、C、D共线

  ∴∠A=∠1,∠B=∠2.

  即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

  那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

 

  三角形的稳定性

  三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性。

  注意:(1)三角形具有稳定性;

  (2)四边形没有稳定性.

  关于三角形会经常遇到的题型:

  适当添加辅助线,寻找基本图形。

  (1)基本图形一,如图8,在ABC中,AB=AC,B,A,D成一条直线,

图8

  (2)基本图形二,如图9,如果CO是∠AOB的角平分线,DE∥OB交OA,OC于D,E,那么DOE是等腰三角形,DO=DE.当几何问题的条件和结论中,或在推理过程中出现有角平分线,平行线,等腰三角形三个条件中的两个时,就应找出这个基本图形,并立即推证出第三个作为结论.即:角平分线+平行线→等腰三角形.

图9

  (3)基本图形三,如图10,如果BD是ÐABC的角平分线,M是AB上一点,MN^BD,且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN,即DBMN是等腰三角形,且MP=NP,即:角平分线+垂线→等腰三角形.

  当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时,就应找出这个基本图形,如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整,如图11,图12。

 

  多边形

  在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

  (1)多边形的对角线

  连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

  (2)正多边形

  各边相等,各角都相等的多边形叫做正多边形

  (3)多边形的内角和为(n-2)*180度

  多边形的外角和为 360度

  注:当求角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角

 

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